关于X的方程X^2-(2a-bi)X+a-bi=0有实根,且有一个根的模是2

设x 是 方程 X^2 - (2a-bi)X + a-bi = 0 的一个实根,a,b为实数。
则，
x^2 - 2ax + a + i[bx - b] = 0,

因，x,a,b均为实数。所以，有，
x^2 - 2ax + a = 0,且, b(x+1) = 0.

若b不等于0，
则只有 x = -1,且，1 + 2a + a = 1 + 3a = 0,
a = -1/3.

设关于X的方程X^2-(2a-bi)X+a-bi=0的另一个根为，c+di. c^2 + d^2 = 4.
则，对任意的复数X,都有，
X^2 - (2a - bi)X + a - bi = X^2 + (2/3 + bi)X - 1/3 - bi
= (X + 1)(X - c - di)
= X^2 + (1 - c - di)X - c - di
因此，
1 - c - di = 2/3 + bi,且，-c - di = -1/3 - bi.
1 - c = 2/3, d = -b, 且， -c = -1/3, d = b.
因 b不等于0，所以 d = -b 和 d = b 不能同时成立.
矛盾。

所以，必有，
b = 0.

此时，关于X的方程X^2-(2a-bi)X+a-bi=0，化为，
X^2 - 2aX + a = 0. 。。。（1）

又因 关于X的方程X^2-(2a-bi)X+a-bi=0有实根，
所以，方程（1）有且有2个实根。

因此，有，
(2a)^2 - 4a = 4a(a-1) >= 0，
a <= 0, 或者，a >= 1.

方程（1）的2个实根为，
x = a + [a(a-1)]^(1/2),
c = a - [a(a-1)]^(1/2).

当 a <= 0 时，
x = a